原創(chuàng )推導超實(shí)用的不定積分公式，三角積分大公式

老黃前面探究了一個(gè)與e的ax次方有關(guān)的不定積分公式，那里老黃要繼續運用分部積分法探究另一個(gè)與三角函數有關(guān)的不定積分公式。

求∫x^n*cosaxdx, n∈N*, a≠0.

被積函數由兩部門(mén)構成，前面是冪函數，指數是正整數，后面是ax的余弦函數。a不等于0. 那個(gè)公式的推導要比上一個(gè)公式難一點(diǎn)。

解：記In(k)=∫x^n*cos(ax+kπ/2)dx.【那是一個(gè)關(guān)于k的不定積分函數族。差別的n有差別的不定積分，差別的k也會(huì )有差別的不定積分。原不定積分中的ax變革為ax+kπ/2的形式。為啥要有如許的設想，看下去你就會(huì )大白了?！?/p>

In(0)=∫x^n*cosaxdx=1/a*∫x^ndsinax【當k=0時(shí)，就得到原不定積分】

=1/a*x^n*sinax-1/a*∫sinaxdx^n【分部積分公式的運用】

=1/a*x^n*sinax+n/a*∫x^(n-1)*cos(ax+π/2)dx【化成那個(gè)形式，才氣得到遞推公式，如今曉得為什么老黃要在前面引入ax+kπ/2了吧】

=1/a*x^n*sinax+n/a*I_(n-1)(1)

【同理有I_(n-1)(1)=1/a*x^(n-1)*sin(ax+π/2)+(n-1)/a*I_(n-2)(2)，代入上式】

= 1/a*x^n*sinax+n/a*(1/a*x^(n-1)*sin(ax+π/2)+(n-1)/a*I_(n-2)(2))

= 1/a*x^n*sinax+n/a^2*x^(n-1)sin(ax+π/2)+(n(n-1))/a^2*I_(n-2)(2)

= …=∑(i=0-n)n!/((n-i)!a^(i+1))*x^(n-i)*sin(ax+iπ/2)+C.

公式超難讀清晰，不外不妨，下面老黃有圖片給各人展現推導過(guò)程的全貌，還有例題、操練給各人演示公式的運用。

我們來(lái)看一個(gè)運用，同時(shí)也查驗它的準確性.

例：求∫x^*cos*xdx. 【n=a=*，間接代入公式】

解：原積分=∑(i=0-*)*!/((*-i)!*a^(i+1))*x^(*-i)*sin(ax+iπ/2)+C【其實(shí)那就能夠做謎底了】

=1/**x^**sin*x+1/**x^2*sin(*x+π/2)+2/9*x*sin(*x+π)+2/27*sin(*x+*π/2)+ C

=1/**x^*sin*x+1/**x^2*cos*x-2/9*xsin*x-2/27*cos*x+ C.【運用了三角誘導公式，同一了各項的形式】

操練：求∫x^5*cos(x/*)dx.【n=5, a=1/*，間接代入公式】

解：原積分=∑(i=0-5)5!/((5-i)!*a^(i+1))*x^(5-i)*sin(ax+iπ/2)+C

=*x^5*sin(x/*)+45x^4*cos(x/*)-540x^**sin(x/*)-48*0x^2*cos(x/*)+291*0xsin(x/*)+87480cos(x/*)+C.

成果老黃都已經(jīng)查驗過(guò)，準確無(wú)誤了。老黃也不曉得高數中有沒(méi)有那個(gè)公式，歸正老黃并沒(méi)有見(jiàn)過(guò)。給那個(gè)公式取個(gè)名稱(chēng)吧。老黃就叫它“三角積分大公式”吧。因為下面老黃還要繼續鼓搗它。老黃覺(jué)得那個(gè)公式太適用了。